Gimė 1944 m. liepos 26 d. Marijampolėje. 1962 m. baigė Marijampolės 2-ąją vidurinę mokyklą ir įstojo į Černigovo aukštąją aviacijos mokyklą, kurią baigė 1966 m. Nuo tada tarnavo lakūnu. 1969 m. paskirtas vyresniuoju SSRS karinės grupuotės Vokietijoje naikintuvų aviacijos pulko lakūnu. Nuo 1970 m. tarnavo vyresniuoju, nuo 1972 m. – naikintuvų aviacijos pulko grandies vadu Turkmėnijos Mary mieste.
1971-1972 m. buvo vyresniuoju atskirojo aviacijos būrio lakūnu Egipto Arabų Respublikoje. Dalyvavo karo veiksmuose prieš Izraelį. 1973 m. išleistas į atsargą, jam suteiktas SSRS KOP (Karinių oro pajėgų) majoro laipsnis.
1975 m. baigė SSRS Aviacijos pramonės ministerijos skrydžių tyrimo instituto lakūnų–bandytojų mokyklą ir dirbo lakūnu-bandytoju tame pačiame centre. Jis atlikdavo aukščiausio sudėtingumo bandomuosius skrydžius. Taip pat dalyvavo bandant naikintuvą MiG-29 suktuko sąlygomis.
Rimantas Stankevičius skraidė 57 tipų lėktuvais ir turėjo didesnį nei 4000 valandų skrydžių stažą. 1982 m. jam suteikta 1 klasės lakūno-bandytojo kvalifikacija.
1977 m. Rimantas Stankevičius paskiriamas į specialaus pasirengimo grupę skrydžiui daugkartinio naudojimo erdvėlaiviu „Buran“.
1979 m. paskirtas į pagrindinę grupę pasirengimui pagal temą 11F35 („Buran“). 1979-1980 m. mokėsi pagal bendrą kosminės parengties programą Jurijaus Gagarino kosmonautų rengimo centre. 1980 m. rekomenduotas į kosmonautų–tyrėjų grupę ir įtrauktas į kosmonautų-tyrėjų būrį. 1981 m. įtrauktas į Skrydžių tyrimo instituto kosmonautų-bandytojų būrį. 1982 m. išlaikęs visas bendrosios kosminės parengties įskaitas ir egzaminus gavo kosmonauto-bandytojo kvalifikaciją. Rimantas Stankevičius buvo parengtas skrydžiams į kosmosą.
1982-1983 m. rengėsi kosminiam skrydžiui kaip rezervinės įgulos narys. Tačiau pakeitus skrydį į OS „Saliut-7“ programą, Rimantas Stankevičius atšauktas iš įgulos.
1984 m. rengėsi skrydžiui daugkartinio naudojimo erdvėlaiviu „Buran“ ir mokėsi valdyti jį rankiniu bei automatiniu būdu. Skraidė su lėktuvais-laboratorijomis Tu-154 ir MiG-25, kuriuose buvo įrengtos „Buran“ valdymo sistemos.
Rimantas Stankevičius turėjo būti pirmo „Buran“ skrydžio antruoju pagrindinės įgulos pilotu. Tačiau Mokslinis gamybinis susivienijimas „Energija“ manė, kad kosmose bus reikalingi borto inžinieriai, o ne antrieji pilotai, todėl planavo ir rengė jį „Buran“ vadu skrydžiui kartu su kosmonautais A. Balandinu bei V. Zabolotskiu.
Rimantas atliko 6 riedėjimo bandymus ir 14 skrydžių specialiu erdvėlaivio „Buran“ egzemplioriumi OK-GLI (lėktuvas–analogas BTS-02). Jis užėmė tiek įgulos vado, tiek antrojo piloto pareigas. 1987 m. paskirtas Ryšių skrydžio instituto kosmonautų būrio vadu. 1988 m. tapo kosmonautų – bandytojų komplekso viršininko pavaduotoju.
1989 m. vėl rengėsi kosminiam skrydžiui į orbitinę stotį „Mir“. Tačiau vėl buvo pakeisti „Mir“ eksploatacijos planai ir rugsėjo mėnesį pasirengimas buvo nutrauktas. Taip pat 1989 m. Rimantui suteiktas Nusipelniusio SSRS lakūno – bandytojo vardas.
1990 m. rugsėjo 9 d. Italijoje, Trevizo provincijos Salgareda aerodrome, vyko aviacijos šou. Jo metu Rimantas vykdė eilinį parodomąjį skrydį naikintuvu Su-27. Darydamas vertikalią pilotažo figūrą jis pradėjo kilpą aukščiausiame jos taške. Šis taškas buvo kiek žemiau apskaičiuotojo. Rimantas beveik išlygino lėktuvą prie žemės, tačiau nesugebėjo sulaikyti jo žemėjimo – lėktuvo masė tapo nepavaldi patyrusio piloto rankai. Lėktuvas palietė žemę „pilvu“ ir sprogo. Katastrofa nusinešė puikaus piloto ir vienintelio Lietuvos kosmonauto gyvybę.
Rimantas Stankevičius palaidotas Kaune, o Žukovskio miesto kapinėse yra memorialinis paminklas.